本文主要介绍如何通过已知三个点求解平面方程，其中向量积是解题的关键。文章首先介绍向量积的概念，然后通过三个点求向量积，最终得到平面方程的具体步骤。本文详细讲解了向量积的原理和应用，可以帮助读者更好地理解向量积在平面几何中的作用。

一、向量积的概念

向量积，又称叉积，是向量运算中的一种。两个向量的向量积可以得到一个新的向量，其大小等于这两个向量所在平面的面积，方向垂直于这个平面，满足右手定则，即两个向量的乘积的方向与右手拇指所指方向一致，食指与中指的指向为两个向量的方向。向量积的计算公式为：$|\vec a \times \vec b| = |\vec a| |\vec b| \sin \theta$。

二、三个点求向量积

我们假设平面上有三个点A（$x_1,y_1,z_1$）、B（$x_2,y_2,z_2$）、C（$x_3,y_3,z_3$），现在需要求出这三个点所在平面的方程。我们可以通过求解向量积来解决这个问题。

我们需要求出向量$\vec{AB}$和向量$\vec{AC}$，即：

$$\vec{AB} = \begin{pmatrix}x_2-x_1\\y_2-y_1\\z_2-z_1\end{pmatrix}, \vec{AC} = \begin{pmatrix}x_3-x_1\\y_3-y_1\\z_3-z_1\end{pmatrix}$$

然后，我们可以通过向量积求解平面法向量$\vec{n}$，即：

$$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC}$$

最后，我们可以得到平面的方程为：

$$\vec{n} \cdot \vec{r} = \vec{n} \cdot \vec{A}$$

其中，$\vec{r}$表示平面上的任意一点，$\vec{A}$表示已知的点（在这个例子中，$\vec{A} = \begin{pmatrix}x_1\\y_1\\z_1\end{pmatrix}$）。$\cdot$表示向量的点积，即：$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$。

三、向量积的应用

向量积在平面几何中有着广泛的应用。通过向量积，我们可以求解两个向量的夹角、平行四边形的面积、三个点所在平面的法向量等问题。在工程、物理等领域中，向量积也有着重要的应用，例如磁场的计算、力矩的求解等。

通过本文的介绍，我们了解了向量积的概念和计算方法，并通过实际的例子演示了向量积在求解平面方程中的应用。向量积是平面几何中重要的概念和工具，掌握了向量积的原理和应用，可以帮助我们更好地理解和解决平面几何中的问题。